初中数学已知正方形中三条线段长，求正方形面积

一、标题

前段光阴有粉丝问了一道题，标题如下：

如图，已知在正方形ABCD中，有一点O，AO=7，CO=9，BO=4，求正方形ABCD的面积。

初中数学：已知正方形中三条线段长，求正方形面积

二、阐发

要求正方形的面积，只要求出正方形边长，标题中已知前提，除了明白给出的3条线段长外，△AOB和△BOC还存在边相等、角互余的隐含前提，据此，容易想到把此中一个三角形扭转90°，使俩等边重合，进而构造出一个含直角且四边都已知的四边形，求它的对角线长。

三、解答

初中数学：已知正方形中三条线段长，求正方形面积

如图，把△BOC绕点B逆时针扭转90°至△BO'A，则O'B=OB=4，O'A=OC=9，∠O'BO=∠ABC=90°.

前提不敷，继续拓展已知前提，扭转出等腰，扭转90°出等腰直角三角形

衔接OO'，由勾股定理可得 OO'=4√2

初中数学：已知正方形中三条线段长，求正方形面积

O'A=9，OA=7，OO'=4√2

由勾股定理逆定理可断定 △AOO'为直角三角形，∠AOO'=90°

∴∠AOB=135°

如今又获得了一个特殊角，构造特殊三角形，应用勾股定理即可求得AB

过点B作BE⊥AO，交AO延伸线于点E

初中数学：已知正方形中三条线段长，求正方形面积

则△BOE为等腰直角三角形

BE=OE=OB/√2=2√2，AE=AO+OE=7+2√2

在RT△ABE中，由勾股定理可得

AB^2=65+28√2

∴四边形ABCD的面积为65+28√2

另解

这道题也可以应用坐标法求解，列式异常简单，然则计算量比拟年夜，对计算才能要求比拟高。

以点B为坐标原点，BC地点直线为x轴，AB地点直线为y轴树立平面直角坐标系

设A(0,a)，C(a,0)，O(x,y)

由两点间间隔公式可得3个二元二次方程

初中数学：已知正方形中三条线段长，求正方形面积

也可解得a^2=65+28√2

四、小结

1、本题的特殊性在于，扭转后组成的四边形正好可分为两个直角三角形，进而获得∠AOB=135°这个特殊角，进而构造特殊直角三角形由勾股定理求得线段长。

2、由办法二可知，纵然△AOO'不是直角三角形，同样可解。

3、对照两种办法，办法一充足应用了图形的性子来解题，计算很简单，但必需稳扎稳打；办法二列式很简单，无需斟酌图形的详细性子，然则计算量很年夜。日常平凡解题时，一样平常先从图形特色动身，应用图形性子来解题，当标题较繁杂，不知该若何下手时，可测验考试坐标法。